# 二项式定理 ## 定理 ### 定理 1（二项式定理） 若 $n \in \mathbb{N}$，则对任意交换代数中的元素$a$，$b$，有 $(a+b)^n=\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$ **证明 1（二项式定理）** 考虑 $(a+b)^n=(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ 展开后，每一项都由“在 $n$ 个括号中选若干个取 $b$，其余取 $a$”决定。 若恰有 $k$ 个括号取 $b$，则所得项为 $a^{n-k}b^{k}.$ 而“从 $n$ 个位置中选 $k$ 个位置放 $b$”的方法数正是 $\binom{n}{k}.$ 故 $a^{n-k}b^{k}$ 的系数为 $\binom{n}{k}$，于是 $(a+b)^n=\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$ 证毕。